來源頭條作者:好玩的數學

作者 | 大小吳

來源 | 大小吳的數學課堂

今天大小吳來和大家探討一個問題：為什么1既不是素數也不是合數？

1 因數的個數

對于這個問題，我們可以參考六年級課本上對于素數的定義：

“

一個正整數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做素數（prime number），也叫做質數；如果除了1和它本身以外還有別的因數，這樣的數叫做合數（composite number）.

也就是說，如果我們以因數個數為標準對正整數進行分類，可以得到如下表格：

正整數因數情況因數個數1個素數1、本身2個合數1、本身、其他因數大于等于3個

可以看出，1的因數只有1本身，所以它既不屬于素數的范疇也不屬于合數的范疇。這樣就把正整數分為了1、素數、合數三類，用這樣的方式解釋“1既不是素數也不是合數”似乎也說得過去。

2 素因數分解的唯一性

實際上，1既不是素數也不是合數這件事需要用到“素因數分解的唯一性”來說明，也即算術基本定理：

“

任何一個大于1的自然數 ，如果不為質數，都可以唯一分解成有限個質數的乘積，即

這里均為質數，其諸指數是正整數.

這個定理從本質上講指的是在對合數進行素因數分解時體現出的以下兩種性質：“存在性和唯一性”。存在性指的是一個合數的素因數分解是必然存在的；唯一性指的是這種分解表示是唯一的。舉個簡單的例子，18是個合數，如果我們對它進行素因數分解，可以得到：

存在性和唯一性都是顯然易見的，因為我們不可能把18分解成或是等其他的形式。

3 算術基本定理的證明

然而在數學上，對于一個定理我們不能以“顯然成立”這樣的話就把對定理的證明搪塞過去了，對于這件事我們一定要嚴格證明一遍。首先，在證明算術基本定理之前，我們需要用到兩個引理：

“

引理1：當和互素時，如果能被整除，那么也能被整除.

證明如下：因為和互素，所以，又因為能被整除，所以為與某個整數的乘積：

由可知，

將代入，可得：

即

因為必然為整數，所以能被整除。

“

引理2：如果和無法被素數整除，那么其乘積也無法被整除.

對于此定理的證明用反證法，且需用到引理1：假設能被整除，因為無法被素數整除，所以，則根據引理1可知，必然能被整除。然而，這與無法被整除的已知條件矛盾。所以，不能被整除。

因此，當都不能被整除時，其乘積也無法被整除。

換句話說，當能被整除時，那么或或或能被整除。（逆否命題）

這樣，我們就為證明“分解素因數的方法只有一種”做好了準備工作。

接著，仍然用反證法，假設合數有兩種分解方法：

消去相同的部分，可得

假設左邊的素數和右邊的素數各不相同（倘若有相同的素因數，則在上一步時已經消去了），那么根據引理2，因為能被整除，所以中的某個素數必然能被整除。也就是說必然存在，使得

這與假設是矛盾的，故上述等式不成立。我們逐一約去等式兩邊相同的素數，最終可以得到：

也就是說，等式兩邊的素數從一開始就是完全相同的。

這樣，我們就證明了算術基本定理。

4 為什么1既不是素數也不是合數

我們來考慮如果把1也納入到素數中會出現什么情況，以6為例：

這樣就使得合數分解素因數的唯一性不成立了，違背了算術基本定理。

因此，1不屬于素數，1也顯然不是合數，所以1是唯一一個既不是素數也不是合數的正整數。

參考文獻[1]上海師范大學.初級中學課本（試用本）-數學（六年級第一學期）[Z].上海教育出版社，2019.[2]（日）遠山啟.數學女王的邀請——初等數論入門[M].逸寧譯.人民郵電出版社，2020.