來源頭條作者:理文院長

算式計算能力是數量關系部分的基本能力，它不僅考查考生的計算水平，更多考查的是考生對計算方法的掌握和對計算技巧的運用能力，是準確、快速解決具體問題的方法和手段。算式計算，一般有以下九個方面：

1. 比較大小問題

比較大小問題在近年來各類公務員考試中出現較少。下面給出了比較幾個數大小的常用方法及其原理，從真題來看，中間值法、倒數法、不等式法這三種方法考查較多，同學們可以重點學習。

（1）作差法

對于任意兩個數a、b， 若a-b≥0，則a≥b；若a-b＜0，則a＜b。

（2）作商法

當a、b為任意兩個正數時，

若≥1，則a≥b；若 ＜1，則a＜b。

當a、b為任意兩個負數時，

若 ≥1，則a≤b；若 ＜1，則a＞b。

（3）中間值法

對任意兩個數a、b，若能找到一個中間值c，滿足a＞c且c＞b，則可以推出a＞b。

（4）倒數法

當a、b同號時， 若 1/a ≤1/b ，則a≥b；若 1/a＞1/b，則a＜b。

（5）不等式法（根據不等式的性質進行判斷）（6）差值比較法

通常情況下，比較幾個分數的大小時，如果其值與“1”或某一個整數比較接近，則可通過比較這幾個分數與“1”的差值來比較它們的大小。

2. 定義新運算問題

定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義，實質是給出一種新的運算規則，并賦予該運算方法新的運算符號，如*、△、※、◎等，計算其式子。在公務員考試中，定義新運算問題并不難。解決這類問題要充分理解新定義，嚴格按照新定義的公式帶入數值，便可輕松搞定這類問題。

方法主要有以下三種：

定義新運算：新的運算符號，對這些符號規定了新的運算規則，按照新的運算規則進行運算。

（1）公式法

根據題目提供的新定義的公式，將數值帶入。

（2）分步法

對于一些復雜的定義新運算問題，需要分步完成，根據已知公式多次代入和計算。

（3）歸納法

根據已知條件歸納新運算規則。

3. 平均值問題

平均值有分為算術平均值、加權平均值、幾何平均值等等。其中以算術平均值最常見，在公務員考試中由于不允許使用計算器，所以幾何平均值的問題出現的概率十分的低，掌握各種平均值解法就能很容易的解決問題。

（1）算術平均值

所有數據之和除以數據個數所得的商，用公式表示：

M=

（2）加權平均值

加權平均值即將各數值乘以相應的權數，然后加總求和得到總體值，再除以總的單位數。平均數的大小不僅取決于總體中各單位的標志值（變量值）的大小，而且取決于各標志值出現的次數（頻數），由于各標志值出現的次數對其在平均數中的影響起著權衡輕重的作用，因此叫做權數。

舉例說明：下面是一個同學的某一科的考試成績：

平時測驗 80， 期中 90， 期末 95

學校規定的科目成績的計算方式是：

平時測驗占 20%

期中成績占 30%

期末成績占 50%

這里，每個成績所占的比重叫做權重。那么，

加權平均值 =( 8020% + 9030% + 95*50% )/(20%+30%+50%）=90.5

算術平均值(80 + 90 + 95)/3 = 88.3

上面的例子是已知權重的情況。下面的例子是未知權重的情況：

股票A，1000股，價格10；

股票B，2000股，價格15；

算術平均值 = (10 + 15) / 2 = 12.5；

加權平均值 = (10 * 1000 + 15 * 2000) / (1000 + 2000) = 13.33

其實，在每一個數的權數相同的情況下，加權平均值就等于算術平均值。

權重是一個相對的概念，是針對某一指標而言。某一指標的權重是指該指標在整體評價中的相對重要程度。 權重表示在評價過程中，是被評價對象的不同側面的重要程度的定量分配，對各評價因子在總體評價中的作用進行區別對待。事實上，沒有重點的評價就不算是客觀的評價。 打個比方說, 一件事情, 你給它打60分, 你的老板給它打100分, 如果平均, 則是(100+60)/2=80分. 但因為老板說的話分量比你重, 假如老板的權重是2, 你是1, 這時求平均值就是加權平均了, 結果是(1002 + 601)/(1+2)=86.67分, 顯然向你的老板那里傾斜了。假如老板權重是3，你的權重是1，結果是（1003+601）/（1+3）=90分。這就是根據權重的不同進行的平均數的計算，所以又叫加權平均數。4. 不定方程問題

未知數個數多于方程個數的方程（組），叫做不定方程（組）。通常只討論它的整數解或正整數解。

在各類公務員考試中，最常出現的是二元一次方程，其通用形式為ax+by=c，其中a、b、c為已知整數，x、y為所求自然數。在解不定方程問題時，我們需要利用整數的奇偶性、自然數的質合性、數的整除特性、尾數法、特殊值法、代入排除法等多種數學知識來得到答案。

公務員考試中不定方程應用題一般只有三種類型。解答不定方程時，一定要找出題中明顯或隱含的限制條件，從而利用數的奇偶性、數的質合性、數的整除特性、尾數法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解題思路，掌握解題方法，就能輕松搞定不定方程問題：

形如x+y=4，x+y+z=3， 的方程叫做不定方程，其中前兩個方程又叫做一次不定方程。這些方程的解是不確定的，我們通常研究：

a.不定方程是否有解？

b.不定方程有多少個解？

c.求不定方程的整數解或正整數解。

（1）二元一次不定方程

對于二元一次不定方程問題，我們有以下兩個定理：

定理1：

如：方程2x+4y=5沒有整數解；2x+3y=5有整數解。

定理2：（2）多元一次不定方程（組）

多元一次不定方程（組）可轉化為二元一次不定方程求解。

例：

所以x=10－y－z=4－k，當k=0時，x最大，此時y=1，z=5。

（3）其他不定方程解不定方程問題常用的解法：

（1）代數恒等變形：如因式分解、配方、換元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；

（3）同余法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解；

（4）構造法：構造出符合要求的特解，或構造一個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；

（5）無窮遞推法。

（6）特殊值法：已知不定方程（組），在求解含有未知數的等式的值時，在該等式是定值的情況下，可以采用特殊值法，且可以設為特殊值的未知數的個數=未知數的總個數-方程的個數。5. 不等式問題

不等式是用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子，在公務員考試中，對不等式的考查主要有兩個方面：(1)由不等式確定未知量取值范圍，(2)均值不等式。

核心概念

均值不等式：任意n個正數的算術平均數總是不小于其幾何平均數。

6. 算式等式問題

公務員考試中的算式等式問題，主要是指由已知等式（關系式）求取相關的特定關系式的值。這類型的題目的關鍵在于認真觀察題干中的關系式，然后按照核心公式拆解，從而得到解題需要的關系式。

7. 最值問題

最值問題一般為題目中出現“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字樣，通常采用不等式法、求導法等求最大值，最小值。在近幾年的公務員考試中，最值問題主要考查的是最大值和最小值，通常只有不等式法、求導法、二次函數法三種方法，其中以不等式法為主。

（1）不等式法

正數的算術平均值不小于它們的幾何平均數，即：

（2）求導法

（3）二次函數法（了解）

二次函數：

8. 數列問題（1） 求第N項（2）數列求和

A．單一數列求和

B．多個數列求和：

①分組求和法（重要）：

將原數列拆分成若干個基本數列，利用基本數列求和公式進行求和。

②錯位相減法：

③倒敘相加法：

公式推理：9. 速算與技巧

速算與技巧，它不僅考查考生的計算水平，更多考查的是考生對計算方法的掌握和對計算技巧的運用能力，是數量關系部分的基礎，是準確、快速解決具體問題的方法和手段。

在公務員考試中，計算能力是數量關系部分的基本能力，幾乎所有題目最后都會轉化成對計算規律的考查。這一節，將向大家詳細介紹計算的規律及技巧，一般來說，速算的方法只有五種：

（1）湊整法

湊整法：是根據數的特點，借助于數的組合、分解以及四則運算等規律，將幾個數字湊成整十、整百、整千、整萬的數，也可以把較大的數字估算為與其相近的整數，從而達到簡化計算的目的，是最常用、最簡便的方法。

常用公式：

加法交換律：a+b=b+a；

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c);

乘法交換律：ab=ba;

乘法結合律：（ab)c=a(bc);

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。

（2）因式分解法

因式分解法是把一個多項式轉化為幾個因式乘積的形式。常用的方法有提取公因式法、公式法、分組分解法等。

A．提取公因式法：

通過提取相同的因數或因式進行“湊整”的方法，如am+bm+cm=m(a+b+c)，這是因式分解中最基本的方法。該方法一般以求取公約數或公因式作為基礎。

B．公式法：

是利用乘法公式來分解因式的方法。公式法在后面的消去法、換元法、算式等式等部分中應用也非常廣泛。常用的乘法公式有：

C．分組分解法：

將多項式中的某兩項或多項作為一組，使該組內的幾項適合于利用提取公因式法或公式法等進行因式分解，或者是將該多項式轉化為已知條件的某種形式。

D．拆補法：

在保證多項式數值不變的基礎上，將式子中的某一項等值拆分成幾項、或者同時加減上相等的兩項或幾項，使之適合于利用提取公因式法、公式法或分組分

（3）消去法

“消去法”思想來源于解方程組時的消元思想，它是通過消去一個復雜式子中的重復部分來達到簡化計算的目的。 對于加減運算中項數較多的式子，優先考慮使用該方法。一般在乘除運算較多和分式較多的式子中要先利用“約分”來消去相同的項。

（4）換元法

換元法是把式子的某個部分看成一個整體，并用一個新的變量去替換它，從而使式子簡化的方法。

換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識體系中去研究。

在數學運算中，一般采用的是局部換元法，是指在已知或未知的代數式中，用一個字母代替重復出現的復雜式子，進而把復雜的計算和推證簡化。

（5）首尾數法

首尾數法：是根據原式的運算將首位或者末位數字（一位或者兩位）運算后得到的結果來確定答案的。 通常在所給題干的數值比較大、計算復雜，而四個選項的首位數字或末位數字不相同的情況下使用，可以達到“秒殺”的效果。大部分的計算題都可以用首數法或者尾數法，其中尾數法在數學運算和數字推理中應用的尤其普遍。

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