來源頭條作者:超人老師

　日常生活中，我們經常接觸到許多按一定順序排列的數，如：

自然數：1，2，3，4，5，6，7，… （1）

年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）

某年級各班的學生人數（按班級順序一、二、三、四、五班排列）

45，45，44，46，45 （3）

像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數就叫做數列.數列中的每一個數都叫做這個數列的項，其中第1個數稱為這個數列的第1項，第2個數稱為第2項，…，第n個數就稱為第n項。如數列（3）中，第1項是45，第2項也是45，第3項是44，第4項是46，第5項45。

根據數列中項的個數分類，我們把項數有限的數列（即有有窮多個項的數列）稱為有窮數列，把項數無限的數列（即有無窮多個項的數列）稱為無窮數列，上面的幾個例子中，（2）（3）是有窮數列，（1）是無窮數列。

研究數列的目的是為了發現其中的內在規律性，以作為解決問題的依據，本講將從簡單數列出發，來找出數列的規律。

例1：

觀察下面的數列，找出其中的規律，并根據規律，在括號中填上合適的數.

①2，5，8，11，（），17，20。

②19，17，15，13，（），9，7。

③1，3，9，27，（），243。

④64，32，16，8，（），2。

⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…

⑥1，3，4，7，11，18，（），47…

⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.

⑧1，2，6，24，120，（），5040。

⑨1，1，3，7，13，（），31。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

(11)1，4，9，16，25，（），49，64。

(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.

(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.

解析：

　①不難發現，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等于3.因此，括號中應填的數是14，即：11＋3=14。

② 同①考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括號中應填11，即：13—2=11。

不妨把①與②聯系起來繼續觀察，容易看出：數列①中，隨項數的增大，每一項的數值也相應增大，即數列①是遞增的；數列②中，隨項數的增大，每一項的值卻依次減小，即數列②是遞減的.但是除了上述的不同點之外，這兩個數列卻有一個共同的性質：即相鄰兩項的差都是一個定值.我們把類似①②這樣的數列，稱為等差數列.

③1，3，9，27，（），243。

此數列中，從相鄰兩項的差是看不出規律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括號中應填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合規律，即 243＝81×3。

④64，32，16，8，（），2

與③類似，本題中，從第1項開始，每一項是其后面一項的2倍，即：

因此，括號中填4，代入后符合規律。

綜合③④考慮，數列③是遞增的數列，數列④是遞減的數列，但它們卻有一個共同的特點：每列數中，相鄰兩項的商都相等.像③④這樣的數列，我們把它稱為等比數列。

⑤ 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34…

首先可以看出，這個數列既不是等差數列，也不是等比數列.現在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關系，可以發現，從第3項開始，每一項等于它前面兩項的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號中應填的數是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。

這個以1，1分別為第1、第2項，以后各項都等于其前兩項之和的無窮數列，就是數學上有名的斐波那契數列，它來源于一個有趣的問題：如果一對成熟的兔子一個月能生一對小兔，小兔一個月后就長成了大兔子，于是，下一個月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是一公一母，兔子的數目將按一定的規律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔子的數目（以對為單位，一月記一次），就得到了一個數列，這個數列就是數列⑤的原型，因此，數列⑤又稱為兔子數列，這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細介紹。

⑥1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47…

在學習了數列⑤的前提下，數列⑥的規律就顯而易見了，從第3項開始，每一項都等于其前兩項的和.因此，括號中應填的是29，即 29=11＋18。

數列⑥不同于數列⑤的原因是：數列⑥的第2項為3，而數列⑤為1，數列⑥稱為魯卡斯數列。

　　⑦1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。

方法1：繼續考察相鄰項之間的關系，可以發現：

因此，可以猜想，這個數列的規律為：每一項等于它的項數與其前一項的和，那么，第5項為15，即15=10+5，最后一項即第 9項為 45，即 45＝36＋9.代入驗算，正確。

方法2：其實，這一列數有如下的規律：

第1項：1=1

第2項：3=1＋2

第3項：6=1+2+3

第4項：10=1+2+3+4

第5項：（ ）

第6項：21=1+2+3+4+5+6

第7項：28=1+2+3+4+5+6+7

第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8

第9項：（ ）

即這個數列的規律是：每一項都等于從1開始，以其項數為最大數的n個連續自然數的和.因此

第五項為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；

第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。

方法1：這個數列不同于上面的數列，相鄰項相加減后，看不出任何規律.考慮到等比數列，我們不妨研究相鄰項的商，顯然：

所以，這個數列的規律是：除第1項以外的每一項都等于其項數與其前一項的乘積.因此，括號中的數為第6項720，即 720=120×6。

方法2：受⑦的影響，可以考慮連續自然數，顯然：

第1項 1=1

第2項 2=1×2

第3項 6=1×2×3

第4項 24=1×2×3×4

第5項 120=1×2×3×4×5

第6項 （ ）

第7項 5040=1×2×3×4×5×6×7

所以，第6項應為 1×2×3×4×5×6=720

⑨1，1，3，7，13，（ ），31

與⑦類似：

可以猜想，數列⑨的規律是該項=前項+2×（項數-2）（第1項除外），那么，括號中應填21，代入驗證，符合規律。

⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255。

因此，括號中的數應填為63。

小結：尋找數列的規律，通常從兩個方面來考慮：①尋找各項與項數間的關系；②考慮相鄰項之間的關系.然后，再歸納總結出一般的規律。

事實上，數列⑦或數列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利于問題的解決.因此，仔細觀察，認真思考，選擇適當的方法，會使我們的學習更上一層樓。

在⑩題中，1=2-1

3=22-1

7=23-1

15=24-1

31=25-1

127=27-1

255=28-1

所以，括號中為26-1即63。

（11）1，4，9，16，25，（ ），49，64.

1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每項都等于自身項數與項數的乘積，所以括號中的數是36。

本題各項只與項數有關，如果從相鄰項關系來考慮問題，勢必要走彎路。

　　(12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。

仔細觀察，發現數列(12)的每一項加上1正好等于數列(11)，因此，本數列的規律是項=項數×項數-1.所以，括號中填35，即 35= 6×6-1。

(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。

前面的方法均不適用于這個數列，在觀察的過程中，可以發現，本數列中的某些數是很有規律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項、第3項、第5項、第7項和第9項，所以不妨把數列分為奇數項（即第1，3，5，7，9項）和偶數項（即第2，4，6，8項）來考慮，把數列按奇數和偶數項重新分組排列如下：

奇數項：1，2，3，4，5

偶數項：2，4，8，16 可以看出，奇數項構成一等差數列，偶數項構成一等比數列.因此，括號中的數，即第10項應為32（32=16×2）。

(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。

同上考慮，把數列分為奇、偶項：

偶數項：2，4，6，8，10

奇數項：1，3，9，27，（ ）.所以，偶數項為等差數列，奇數項為等比數列，括號中應填81（81=27×3）。

像(13)(14)這樣的數列，每個數列中都含有兩個系列，這兩個系列的規律各不相同，類似這樣的數列，稱為雙系列數列或雙重數列。

例2：

下面數列的每一項由3個數組成的數組表示，它們依次是：

（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…問：第100個數組內3個數的和是多少？

方法1：注意觀察，發現這些數組的第1個分量依次是：1，2，3…構成等差數列，所以第 100個數組中的第 1個數為100；這些數組的第2個分量 3，6，9…也構成等差數列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個數組中的第2個數為3×100=300；同理，第3個分量為5×100=500，所以，第100個數組內三個數的和為100+300+500=900。

方法2：因為題目中問的只是和，所以可以不去求組里的三個數而直接求和，考察各組的三個數之和。

第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18

第3組：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…構成一等差數列，第100項為9×100=900，即第100個數組內三個數的和為900。